# Mathematiques pur les sciences naturelles by Skoruppa N.-P.

By Skoruppa N.-P.

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E. le taux de changement de cet angle en temps t. Demonstration. Par calcul direct on trouve, en posant v := |c |, c = v (cos θ, sin θ) + vθ (− sin θ, cos θ), κ = det(c c )/v 3 = θ /v. On rappel qu’une droite dans R2 est un ensemble de la forme {x ∈ R2 : x · a = α} avec un 0 = a ∈ R2 et un α ∈ R donn´s. 6. (Courbures z´ ero) Soit c une courbe r´eguli`ere. Alors κ ≡ 0 si et seulement si a · c(t) = α avec 0 = a ∈ R2 et α ∈ R convenables. Demonstration. On utilise la formule T c (t) dt + c(t0 ) c(T ) = t0 acec un t0 fix´e.

R´eciproquement on v´erifie que toute solution de l’´equation pour z donne une solution de l’´equation pour y. Exemple. 5 1 1 − x + Ke−x Changement de variable Les m´ethodes utilis´e dans les deux s´ections pr´ec´edentes sont des cas sp´eciaux de la m´ethode “changement de variable” : Pour transformer l’´equation y = f (x, y) (G = I × J) a` une ´equation diff´erente (que l’on sait r´esoudre) on pose x = α(u), y = β(z) avec des fonctions d´erivables α : I → I et β : J → J. e. une ´equation diff´erentielle en z avec g d´efinie sur I × J .

R´eciproquement, si det(A) = 0, alors les colonnes ai de A sont lin´eairements ind´ependents. En fait, si les colonnes sont lin´eairements d´ependents, alors det(A) = 0. C’est clair, si deux colonnes sont ´egales car dans ce cas la matrice A que l’on obtient en ´echangeant ces deux colonnes est ´egal a` A, et car on a d’autrepart det(A ) = − det(A). Dans le cas g´en´eral il existe un i, disons i = 1 pour faciliter les notations, tel que a1 = λ2 a2 + · · · + λn an avec des λi ∈ K convenables. Donc on a n n λi det(ai , a2 , .