Komplexe Zahlen für Dummies Das Pocketbuch by Frank Kretzschmar

By Frank Kretzschmar

Auch wenn Sie sich nicht gerne mit komplexen Zahlen beschäftigen: Es gibt Situationen, da kommen Sie an Ihnen nicht vorbei. Frank Kretzschmar erklärt Ihnen behutsam und Schritt für Schritt, was once Sie über komplexe Zahlen wissen sollten. Zu Beginn erläutert er, was once komplexe Zahlen sind und stellt Ihnen dann die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen vor. Abschließend stellt er Ihnen noch ihr Verhalten bei E-Funktionen, Logarithmen und Potenzen vor.

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Er wird mit dem Symbol l z l bezeichnet. Der zwischen 0 und 21r betragende Winkel des Vek­ tors einer komplexen Zahl z mit der reellen Achse heißt Argument von z. 3). Nun wird aber die komplexe Zahl nicht einfach in der Form hingeschrieben, dass Sie den Betrag und das Argument so an­ geben, wie Sie es bei den imaginären Zahlen getan haben. Es gibt hierfür eine spezielle, zunächst gewöhnungsbedürf­ tige Schreibweise. Den Grund für diese Schreibweise werde ich erst auf Seite 90 erläutern können. Im Augenblick werden Sie sich darauf beschränken müssen, aus einer solchen Dar- 4 >-Summe aus reeller und imaginärer Zahl 47 stellung den Betrag und das Argument der komplexen Zahl ablesen zu können.

Einige Beispiele sollen diese einfache Regel noch einmal ver­ deutlichen. ri\ Beispiel 1: Multiplikation der Vektoren 21 mit � 121 1 2 sowie arg(21 ) 71"/3 und 22 mit 122 1 1,5 sowie = = = arg(2z) n;6 1. Die Vektoren haben die Beträge 2 und 1,5. Das Produkt von 2 und 1,5 ist 3. 2 . Die Vektoren haben die Argumente 71"/3 und 71"/6 . Die Summe der beiden Argumente ist somit n/2. 3. Der Ergebnis-Vektor hat also den Betrag 3 und das . 11' 1 ·2 Argument 1r/2. Dieser Vektor ist der Zahl 3 e zu­ geordnet.

Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Längen 2 und 30 Das Produkt von 2 und 3 ist 60 20 Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Winkel 0 und 7f/z o Die Summe der beiden Winkel ist somit 7f/zo 30 Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 6 und den Winkel 7r/zo Dieser Vektor ist der imaginären Zahl 6i zugeordnet. Beispiel 3: 2i 0 4i (Multiplikation zweier imaginärer Zahlen) 1. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Längen 2 und 40 Das Produkt von 2 und 4 ist 80 20 Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben jeweils den Winkel 7r/zo Die Summe der beiden Winkel ist somit 7fo 3o Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 8 und den Winkel 7fo Dieser Vektor ist der reellen Zahl ( - 8) zugeordnet.

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