Gesammelte Abhandlungen: Band III: Analysis · Grundlagen der by David Hilbert

By David Hilbert

Aus dem Vorwort von David Hilbert: "Entgegen dem ursprünglichen Plan einer vierbändigen Ausgabe meiner Abhandlungen konnte der Abdruck meiner Arbeiten über research, Physik und Grundlagen im Rahmen dieses dritten Bandes erfolgen und mit ihm die Ausgabe abgeschlossen werden. Dies wurde durch Verzicht auf den Abdruck der als Sonderdruck in Buchform veröffentlichten Abhandlungen über Integralgleichungen ermöglicht. Ebenso wurde von der Aufnahme derjenigen Abhandlungen zur Grundlegung der Mathematik, welche bereits als Anhänge in meinem Buch über Grundlagen der Geometrie abgedruckt sind, abgesehen. An Stelle der so entstandenen Lücken haben Herr HELLINGER eine zusammenfassende Darstellung meiner Arbeiten über Integralgleichungstheorie und die daran anschließende Entwicklung, Herr BERNAYS eine solche Darstellung über die Arbeiten zur Grundlegung der Mathematik gegeben. Die Arbeiten über Strahlungstheorie sind in freundlicher Weise von Herrn KRATZER einer Durchsicht unterzogen worden. Der vorliegende Band enthält ferner einen biographischen Aufsatz aus der Feder von Herrn BLUMENTHAL."

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Al , a. l , a2, a. a' ... bv ßI' b2, ßa, ba , ßa, .. Konstante bedeuten. Es mögen r, r' > r zwei besondere Werte bezeichnen, für welche jene Reihenentwicklung konvergiert, die von den mit rund r' um P geschlagenen Kreisen gebildet wird. Das über diesen Kreisring erstreckte Dirichletsche Integral für die Potentialfunktion u* ist bekanntlich nach dem Greenschen Satz durch die Integrale über die Peripherie jener beiden Kreise ausdrückbar ; man erhält für dasselbe den Wert 2n f o u*ßu* Tr- r d

H. von der Wahl der Funktionen y(x), z(x) unabhängig wird. Um diese Frage zu beantworten, wählen wir im xyz-Raume eine beliebige Fläche T (x, y, z) = 0 und denken uns auf derselben die Funktionen p, q derart bestimmt, daß das Integral J*, wenn wir dasselbe zwischen zwei Punkten der Fläche T = 0 über irgend eine auf T = 0 gelegene Kurve erstrecken, einen von der Wahl dieser Kurve unabhängigen Wert erhält. Alsdann konstruieren wir durch jeden Punkt P der Fläche T = 0 diejenige im xyz-Raume gelegene Integralkurve der Lagrangeschen Gleichungen iJF d iJy' _ dx iJF d 8z' _ dx 8F = 0 iJy , iJF _ 0 8z - [F = F(y', z', y, z; x)], , für welche in jenem Punkte P y' = p , z' = q (16) wird, so daß auf diese Weise eine zweiparametrige, ein räumliches Feld erfüllende Schar von Integralkurven entsteht.

Zugrunde legen, wo u l , u 2 ' u a , . die in den vorigen Entwicklungen ge- §9 33 Der Wert des Dirichletschen Integrals der Potentialfunktion u. wonnenen und zur Konstruktion unserer Potentialfunktion u verwandten Funktionen (10) bedeuten. Unser Verfahren zeigt dann, daß sich aus dieser Funktionenreihe eine Auswahl u~-l*, u;-l*, u;-l*, ... muß treffen lassen, derart, daß der durch die Formel :1)+, 11+1J u*= L L J J (u~-l*)dxdy ,=0 11=00:1) 1J=0 11 definierte Ausdruck eine Potentialfunktion darstellt, die nur in den Punkten des Polygonzuges 0* unstetig ist.

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