Etwas mehr Analysis: Eine Einführung in die mehrdimensionale by Jürgen Pöschel

By Jürgen Pöschel

Dieser Band für Studierende der Mathematik ab dem zweiten Semester setzt den ersten Band »Etwas research« castle und führt in die klassische mehrdimensionale research ein. Wieder wird Wert auf eine klare Darstellung mit einer möglichst einfachen Notation gelegt, die Denkweisen der research werden herausgearbeitet. Ausgehend von Kurven werden die mehrdimensionale Differenziation und research entwickelt. Dies führt bis zum Begriff der eingebetteten Mannigfaltigkeit, dem natürlichen Ort der Theorie der Extrema mit Nebenbedingungen. Die gewöhnlichen Differenzialgleichungen nehmen einen breiten Raum ein und bieten gleichzeitig einen Einstieg in die Theorie der dynamischen Systeme. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, deren vollständige Lösungen auf der web site des Verlages unter „Zusätzliche Informationen“ bereit gestellt werden. Dieser Band findet seine Fortsetzung im dritten Band "Noch mehr Analysis".

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Die Funktion ist im Nullpunkt aber nicht einmal stetig, denn entlang einer Nullpunktsgeraden t (t cos ϕ, t sin ϕ) gilt f (t cos ϕ, t sin ϕ) = 2 cos ϕ sin ϕ = sin 2ϕ, cos2 ϕ + sin2 ϕ t ≠ 0. Also gilt auch lim f (t cos ϕ, t sin ϕ) = sin 2ϕ. t→0 Der Grenzwert hängt somit von der Richtung der Geraden ab und nimmt alle Werte im Intervall [−1, 1] an. Also ist f im Nullpunkt nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar. Jacobimatrix Bisher haben wir die totale Ableitung einer Abbildung als lineare Abbildung betrachtet, ohne Bezug auf explizite Koordinaten zu nehmen.

V) Dasselbe gilt, wenn umgekehrt f (h) = O(h) und g(h) = o(h) . Der Beweis ist als Übung überlassen. 6 a. Für t ∈ R ist sin t = O(t) und 1 − cos t = O(t 2 ) . b. Für f ∈ C n+1 (I) ist aufgrund der Restgliedformel von Lagrange f (a + h) = f (a) + f (a)h + . + 1 (n) f (a)hn + O(hn+1 ). n! c. Ist ·, · eine bilineare Form auf V und A ∈ L(V ) , so ist 2 Ah, h = O(|h| ) = o(h). Mit den Landausymbolen können wir Differenzierbarkeit in einem Punkt wie folgt charakterisieren. 2 7 37 Satz Eine Abbildung f : V → W ist im Punkt a differenzierbar genau dann, wenn f (a + h) = f (a) + Lh + o(h) mit einem L ∈ L(V , W ) .

Diese ist aber nicht D 1 a-17 . Eine stückweise C 1-Kurve ist lipschitzstetig und damit rektifizierbar. Auch die Längenformel gilt unverändert. 21 Satz Jede D 1 -Kurve γ : I → E ist rektifizierbar, und es gilt LI (γ) = ˙(t) γ I E dt. Ist T = (t0 , . , tn ) eine passende Teilung von I und Ik = [tk−1 , tk ] ein Teilungsintervall, so ist aufgrund der Additivität der Längenfunktion 13 und der 24 1 — Ku r v en und Wege Längenformel 15 n n LI (γ) = LIk (γ) = k=1 ˙(t) γ k=1 Ik E dt = ˙(t) γ I E dt. Eine D r -Kurve γ heißt stückweise regulär, wenn alle ihre C r -Abschnitte regulär sind.

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