EinfГјhrung in die Analysis dynamischer Systeme by Manfred Denker

By Manfred Denker

Dynamische Systeme stellen einen unverzichtbaren Bestandteil mathematischer Modellbildung für Anwendungen aller paintings dar, angefangen von Physik über Biologie bis hin zur Informatik. Dieser Band führt in diese Theorie ein und beschreibt Methoden und Dynamiken, wie sie für eine systematische Modellbildung auch in den Anwendungen notwendig erscheinen. Wesentliche Grundzüge der Theorie werden beispielhaft im ersten Kapitel erläutert. Es schließt sich eine Einführung in niedrig-dimensionale Dynamiken an (u.a. motive Funktionen), gefolgt von topologischer Dynamik (z.B. Attraktoren, Entropie und chaotisches Verhalten), differenzierbarer Dynamik (z.B. Liapunoff-Exponenten, Strukturstabilität und Hyperbolizität), Ergodentheorie (z.B. Ergodensätze, invariante Maße, Konservativität) und schließlich thermodynamischer Formalismus (z.B. Gibbs-Theorie, Zetafunktionen).

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Eine eingipflige Transformation T besitzt also die kanonische Zerlegung in die drei Mengen L = [0, c), C = {c} und R = (c, 1]. ) von Buchstaben L, R und C (interpretiert als Mengen), die durch die Vorschrift T j (x) ∈ ij (x) eindeutig festgelegt wird. Der Pfad von c heißt die Kneading-Sequenz (Knetfolge) zu T . 4 eingef¨ uhrt. Die Formulierung dieses Begriffes wiederholt Definition 15. Zwei stetige dynamische Systeme (Ωi , Ti ), (i = 1, 2) heißen konjugiert, falls es eine stetige Bijektion1 h : Ω1 → Ω2 gibt, so dass das Diagramm 1 h−1 ist damit ebenfalls als stetig vorausgesetzt.

4). 6 Diophantische Approximation Die Frage der besten rationalen Approximation von α ∈ [0, 1) l¨ost die Kettenbruchdarstellung, die bereits in Beispiel 3 angesprochen wurde. Es sei T : [0, 1) → [0, 1) durch T (x) = x1 , (x = 0), dem gebrochenen Anteil von x−1 , und T (0) = 0 definiert (man kann den Punkt 1 hinzunehmen). Diese Abbildung heißt Gauß-Abbildung (vgl. Beispiel 3). Satz 12. 1. α ist genau dann rational, wenn T n (α) schließlich verschwindet. 1 der ganzzahlige Anteil von 2. Seien α irrational und κn = T n−1 (α) 1 T n−1 (α) .

2k + 1)2 ≺ (2k − 1)2 ≺ ... ≺ 10 ≺ 6 ≺ ... ≺ 2k + 1 ≺ 2k − 1 ≺ ... ≺ 5 ≺ 3. Satz 15. [Scharkowski] Ist T : I → I eine stetige Abbildung des Einheitsintervalles I = [0, 1] mit einer periodischer Bahn der Periode p, so besitzt T auch periodische Punkte jeder kleineren Primperiode q ≺ p. Beweis. Die Beweisidee ist relativ einfach. Man benutzt die elementare Beobachtung, dass ein Intervall J einen periodischen Punkt x der Periode n enth¨ alt, falls T n (J) ⊃ J. h. T n (x) = x und T j (x) = x f¨ 0 < j < n), wenn folgendes gilt: Es gibt eine Zerlegung von J = L ∪ (J \ L) und paarweise disjunkten Mengen L = L0 , Lj ⊂ T j (L) (0 ≤ j < p), so dass T j (x) ∈ J (1 ≤ j ≤ n−p) und T j (x) ∈ Lj−n+p (n−p ≤ j ≤ n−1).

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