Algebren by Max Deuring (auth.)

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Einen anderen Beweis von Satz 15 erhalten wir aus Satz 6: Ist Z maximaler Teilkörper der Divisionsalgebra A, so wird nach Satz 6 (Z : P)2 = (A : P). Damit ist zugleich gezeigt: Satz 16. Der Grad eines maximalen Teilkörpers einer normalen Divisionsalgebra ist gleich ihrem Index. ) Allgemeiner gilt Satz 17. Ist der Zerfällungskörper Z von {m} irreduzibel einbettbar in Ar, so wird (Z: P) = mr, m ist der Index von m. ) Wir können die gleiche Betrachtung anwenden auf irgendeine endliche Erweiterung A von P.

Es gibt offenbar drei Gründe, aus denen eine in P irreduzible Darstellung L1 in Q reduzibel werden kann: 1. Q mit Radikal über. Q nach seinem Radikal kleiner als der Rang eines einfachen Ideals von 24, L1 muß daher reduzibel werden. 2. 24 zerfällt in mehr als einen einfachen Bestandteil. 'eduzible Bestandteile. 3. Q ist ein Matrizesring von höherem Grade als 24. Diese drei Vorkommnisse können sich überlagern; wir kommen auf den Einfluß der Grundkörpererweiterung auf die Struktur einer Algebra - darauf ist ja das Verhalten der Darstellungen zurückgeführt worden - später zurück (IV, §§ 2-5).

Ein LinearzmA von im hat, i = 1, ... , m 41J 35 § 1. Sätze über Moduln in Schiefkörpem. n d. h. Xi == 2:Xi{Xij (mod m), i = 1, ... , m. Die m Elemente zi = Xi n j=m+l - ~Xj{Xij liegen daher in i=m+l m. Sie bilden eine Basis von m, denn sie sind linear unabhängig, weil sie sogar zusammen mit den Xm + l ' • . , Xn linear unabhängig sind. A sei ein Ao umfassender Schiefkörper. Der A-Modul IDl = x l A xnA heißt Erweiterungsmodul des Ao-Moduls IDl, wenn eine Ao-Basis Xl"'" in von IDlo zugleich (linear unabhängige) A-Basis von IDl ist.

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