Algebra by Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

By Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde findet. Die vorliegende ?berarbeitete Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die ber?hmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Aufl?sung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausf?hrlich erl?utert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das f?r jeden Algebrastudenten unentbehrlich ist.

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Xn)· (Yb'" ,Yn) = (Xl' YI,··· ,Xn ' Yn) ° beschrieben wird. Null- bzw. Einselement werden gegeben durch die Elemente 0= (0, ... ,0) bzw. 1 = (1, ... ,1). Die Gleichung (1,0, ... ,0)· (0,1, ... ,1) = zeigt, dass Rn für n ;::: 2 im Allgemeinen nicht-triviale Nullteiler besitzt, auch wenn R selbst ein Integritätsring ist. Man nennt Rn das n-fache ringtheoretische Produkt von R mit sich selbst. Allgemeiner kann das ringtheoretische Produkt einer Familie von Ringen (R"')'Z:EX gebildet werden. Addition und Multiplikation auf P werden analog zu den Formeln (*) komponentenweise definiert.

X n ), das von den Xi in R erzeugte Ideal, ein Hauptideal ist, also von einem Element dER erzeugt wird, so gilt d = ggT(XI ... , x n ). (ii) Falls (Xl) n ... n (x n ) ein Hauptideal ist, also von einem Element vER erzeugt wird, so gilt v = kgV(XI ... , x n ). Beweis. (i) Gelte (Xl ... ,Xn ) = (d). Dann folgt Xi E (d) und somit dlxi für alle i. Außerdem gibt es wegen d E (Xl"" Xn ) eine Gleichung d = L::=l aiXi mit gewissen Elementen ai E· R. Hieraus ergibt sich, dass jeder gemeinsame Teiler der Xi auch ein Teiler von d ist, d.

Ein Ideal bilden: MI = {J E R X ; f ist konstant auf Y}, M2 = {J E RX ; f(Y) = O}, M 3 = {J E RX ; M4 = {J E RX ; f(y) i- 0 für alle y E Y}, f(y) = 0 für fast alle y E Y}. In welchen Fällen erhält man unter geeigneten Bedingungen an Y Hauptideale? 6. Sei R ein Ring. Man zeige, dass die Teilmenge {a ER; es existiert ein n E N mit an = O} ein Ideal in R definiert (das so genannte Radikal oder Nilmdikal von R). 7. Sei K ein Körper. Man bestimme alle Ideale im Ring der formalen Potenzreihen K[X]. 3 Ringhomomorphismen, Faktorringe Der Begriff des Homomorphismus wird in natürlicher Weise auch für Ringe erklärt.

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